NCERT समाधान अध्याय 1 गणित में पैटर्न कक्षा 6 गणित प्रकाश By Prem Sir

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कक्षा 6 गणित के लिए एनसीईआरटी समाधान अध्याय 1 गणित में पैटर्न - गणित प्रकाश

कक्षा 6 गणित के लिए अध्याय 1 गणित में पैटर्न के एनसीईआरटी समाधान यहाँ उपलब्ध हैं जो पूरे पाठ्यक्रम को कवर करने और अभ्यास में दिए गए कठिन प्रश्नों को हल करने में सहायक होंगे। आप कक्षा 6 गणित अध्याय 1 गणित में पैटर्न के एनसीईआरटी समाधान का पीडीएफ भी डाउनलोड कर सकते हैं जो छात्रों का आत्मविश्वास बढ़ाने में उपयोगी साबित होगा। यह अध्याय नई एनसीईआरटी गणित की पाठ्यपुस्तक, गणित प्रकाश से लिया गया है ।

कक्षा 6 के लिए ये एनसीईआरटी समाधान आपको अध्याय की समझ विकसित करने और परीक्षाओं में अच्छे अंक प्राप्त करने में मदद करेंगे। हमने  अध्याय 1 गणित में पैटर्न के रिवीजन नोट्स भी उपलब्ध कराए हैं जो आपको समय पर अपना होमवर्क पूरा करने में मदद करेंगे। ये एनसीईआरटी समाधान आपकी एकाग्रता बढ़ाने में मदद करेंगे और आप पूरक पुस्तकों के प्रश्नों को आसानी से हल कर सकते हैं। छात्र  अपनी परीक्षा की पूरी तैयारी के लिए कक्षा 6 गणित में पैटर्न के अतिरिक्त प्रश्नों के उत्तर  भी देख सकते हैं। 

अध्याय 1 गणित में पैटर्न कक्षा 6 गणित के लिए एनसीईआरटी समाधान

पेज 2

समझ से बाहर

प्रश्न 1. क्या आप ऐसे अन्य उदाहरण सोच सकते हैं जहां गणित हमारे दैनिक जीवन में हमारी मदद करता है?

उत्तर

यहां कुछ उदाहरण दिए गए हैं जहां गणित हमारे दैनिक जीवन में हमारी मदद करता है:

• बजट और व्यक्तिगत वित्त: गणित बजट बनाने, खर्चों पर नज़र रखने और बचत की योजना बनाकर धन प्रबंधन में मदद करता है।
• खाना पकाना और पकाना:  व्यंजनों में माप और अनुपात की आवश्यकता होती है, और गणित मात्रा को बदलने और सर्विंग्स को समायोजित करने में मदद करता है।
• खरीदारी:  गणित का उपयोग छूट की गणना करने, कीमतों की तुलना करने और खरीदारी की कुल लागत निर्धारित करने के लिए किया जाता है।
• गृह सुधार:  स्थानों को मापने, क्षेत्रफल की गणना करने तथा परियोजनाओं के लिए आवश्यक सामग्रियों की मात्रा निर्धारित करने के लिए गणित आवश्यक है।
• यात्रा योजना: गणित दूरियों की गणना करने, यात्रा के समय का अनुमान लगाने और यात्राओं के खर्चों का प्रबंधन करने में मदद करता है।
• स्वास्थ्य और फिटनेस:  गणित का उपयोग कैलोरी सेवन पर नज़र रखने, बॉडी मास इंडेक्स (बीएमआई) की गणना करने और व्यायाम दिनचर्या की निगरानी करने के लिए किया जाता है।
• समय प्रबंधन: गणित कार्यों को समयबद्ध करने, समय सीमा निर्धारित करने और दैनिक दिनचर्या को व्यवस्थित करने में मदद करता है।
• बागवानी:  गणित का उपयोग पौधों के बीच की दूरी, बगीचे के क्षेत्रफल की गणना और लेआउट की योजना बनाने के लिए किया जाता है।

ये उदाहरण दर्शाते हैं कि गणित किस प्रकार रोजमर्रा की समस्याओं को सुलझाने और सूचित निर्णय लेने के लिए एक व्यावहारिक उपकरण है।

प्रश्न  2. गणित ने मानवता को आगे बढ़ाने में कैसे मदद की है? (आप इनसे जुड़े उदाहरणों के बारे में सोच सकते हैं: वैज्ञानिक प्रयोग करना; हमारी अर्थव्यवस्था और लोकतंत्र को चलाना; पुल, घर या अन्य जटिल संरचनाएँ बनाना; टीवी, मोबाइल फ़ोन, कंप्यूटर, साइकिल, रेलगाड़ी, कार, हवाई जहाज़, कैलेंडर, घड़ियाँ आदि बनाना।)

उत्तर

गणित मानवता को आगे बढ़ाने में कई मायनों में महत्वपूर्ण रहा है:

• वैज्ञानिक प्रयोग:  गणित प्रयोगों की योजना बनाने और उनका विश्लेषण करने में मदद करता है। उदाहरण के लिए, इसका उपयोग भौतिकी में प्राकृतिक नियमों और बलों को समझने के लिए किया जाता है।
• अर्थव्यवस्था और लोकतंत्र:  गणित वित्तीय प्रणालियों का मॉडल तैयार करता है और संसाधनों के प्रबंधन में मदद करता है। इसका उपयोग चुनाव परिणामों के विश्लेषण और सार्वजनिक नीतियों की योजना बनाने में भी किया जाता है।
• इंजीनियरिंग और वास्तुकला:  पुलों, इमारतों और अन्य संरचनाओं के डिज़ाइन और निर्माण में गणित का उपयोग किया जाता है। इंजीनियर यह सुनिश्चित करने के लिए इसका उपयोग करते हैं कि ये निर्माण सुरक्षित और स्थिर हों।
• प्रौद्योगिकी और इलेक्ट्रॉनिक्स:  टीवी, मोबाइल फ़ोन और कंप्यूटर बनाने में गणित का बहुत महत्व है। इसका उपयोग एल्गोरिदम और डिजिटल सिग्नल बनाने में किया जाता है।
• परिवहन:  गणित साइकिल, रेलगाड़ी, कार और हवाई जहाज़ों को डिज़ाइन और चलाने में मदद करता है। इसका उपयोग गति, ईंधन दक्षता और दिशाओं की गणना करने के लिए किया जाता है।
• समय-निर्धारण: सटीक कैलेंडर और घड़ियाँ बनाने के लिए गणित का उपयोग किया जाता है। यह सटीक समय मापन में मदद करता है।
• चिकित्सा:  एमआरआई स्कैन जैसी मेडिकल इमेजिंग और दवाओं की खुराक की गणना में गणित महत्वपूर्ण है। यह बीमारियों के फैलने के तरीके को समझने में भी मदद करता है।
• खगोल विज्ञान और अंतरिक्ष अन्वेषण:  ग्रहों और तारों के पथों की गणना में गणित महत्वपूर्ण है। इसका उपयोग अंतरिक्ष अभियानों की योजना बनाने और उपग्रहों के प्रक्षेपण में किया जाता है।

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तालिका 1: संख्या अनुक्रमों के उदाहरण

समझ से बाहर

प्रश्न  1. क्या आप तालिका 1 में दिए गए प्रत्येक अनुक्रम में पैटर्न पहचान सकते हैं?

उत्तर

(a)  1, 1, 1, 1, 1, 1, 1,…
संख्या '1' दोहराई गई है।

(b)  1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,...
'1' से शुरू करके संख्याएँ गिनें।
1 से शुरू करें। 1 जोड़ते जाएँ।

(c)  1, 3, 5, 7, 9, 11, 13,...
'1' से शुरू होने वाली विषम संख्याएँ।
1 से शुरू करें। 2 जोड़ते जाएँ।

(d)  2, 4, 6, 8, 10, 12, 14,...
'2' से शुरू होने वाली सम संख्याएँ।
2 से शुरू करें। 2 जोड़ते जाएँ।

(ई)  1, 3, 6, 10, 15, 21, 28,…..
त्रिकोणीय संख्याएं
1 से शुरू करें। 2 जोड़ें: 1 + 2 = 3
फिर 3 जोड़ें: 3 + 3 = 6
फिर 4 जोड़ें: 6 + 4 = 10 और इसी तरह।

(च)  1, 4, 9, 16, 25, 36, 49,…..
गिनती संख्याओं के वर्ग (संख्या को स्वयं से गुणा करने पर)।
पहली संख्या = 1 × 1 = 1
दूसरी संख्या = 2 × 2 = 4
तीसरी संख्या = 3 × 3 = 9
चौथी संख्या = 4 × 4 = 16 और इसी तरह आगे भी।

(छ)  1, 8, 27, 64, 125, 216,……
गिनती संख्याओं के घन (संख्या स्वयं से और फिर स्वयं से गुणा की गई)।
पहली संख्या = 1 × 1 × 1 = 1
दूसरी संख्या = 2 × 2 × 2 = 8
तीसरी संख्या = 3 × 3 × 3 = 27
चौथी संख्या = 4 × 4 × 4 = 64 और इसी तरह आगे भी।

(h) 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21,…
विरहंका संख्याएँ (अंतिम 2 संख्याओं का योग)
पहली संख्या = 1, दूसरी संख्या = 2
तीसरी संख्या = दूसरी संख्या + पहली संख्या = 2 + 1 = 3
चौथी संख्या = तीसरी संख्या + दूसरी संख्या = 3 + 2 = 5
पाँचवीं संख्या = चौथी संख्या + तीसरी संख्या = 5 + 3 = 8
छठी संख्या = पाँचवीं संख्या + चौथी संख्या = 8 + 5 = 13 और इसी तरह आगे भी।
तीसरी संख्या से शुरू करते हुए, प्रत्येक संख्या पिछली दो संख्याओं का योग होती है।

(i) 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64,……
2 की घातें
2 ⁰  = 1
2 ¹  = 2
2 ²  = 2 × 2 = 4
2 ³  = 2 × 2 × 2 = 8 और इसी तरह आगे भी।

(j)  1, 3, 9, 27, 81, 243, 729,…… 3 3 ⁰
की घातें  = 1 3 ¹  = 3 3 ²  = 3 × 3 = 9 3 ³  = 3 × 3 × 3 = 27 और इसी प्रकार आगे भी।

प्रश्न  2. तालिका 1 के प्रत्येक अनुक्रम को अपनी नोटबुक में दोबारा लिखिए, साथ ही प्रत्येक अनुक्रम में अगली तीन संख्याएँ भी लिखिए! प्रत्येक अनुक्रम के बाद, अपने शब्दों में लिखिए कि अनुक्रम में संख्याओं को बनाने का नियम क्या है।

उत्तर

(a)  1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1,… (1 को तीन बार दोहराएं)

(b)  1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,10,… (अगली तीन गिनती संख्याएँ)

(c)  1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19,… (अगली तीन विषम संख्याएँ)

(d)  2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20,...(अगली तीन सम संख्याएँ)

(e)  1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55,… (अगली तीन त्रिभुजाकार संख्याएँ)
28 + 8 = 36
36 + 9 = 45
45 + 10 = 55

(च)  1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100,… (अगले तीन वर्ग)
8 × 8 = 64
9 × 9 = 81
10 × 10 = 100

(g) 1, 8, 27, 64, 125, 216, 343, 512, 729,… (अगले तीन घन)
7 × 7 × 7 = 343
8 × 8 × 8 = 512
9 × 9 × 9 = 729

(h) 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89,… (अगली विरहंका संख्याएँ)
13 + 21 = 34
21 + 34 = 55
34 + 55 = 89

(i)  1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512,… (पिछली संख्या को 2 से गुणा करें)
64 × 2 = 128
128 × 2 = 256
256 × 2 = 512

(j)  1, 3, 9, 27, 81, 243, 729, 2187, 6561, 19683,… (पिछली संख्या को 3 से गुणा करें)
729 × 3 = 2187
2187 × 3 = 6561
6561 × 3 = 19683

पृष्ठ 4 और 5

तालिका 2: कुछ संख्या अनुक्रमों का चित्रात्मक निरूपण

समझ से बाहर

प्रश्न  1. तालिका 2 में संख्या अनुक्रमों के चित्रात्मक निरूपण को अपनी नोटबुक में कॉपी करें, और प्रत्येक अनुक्रम के लिए अगला चित्र बनाएं!

उत्तर

प्रश्न  2. 

(a) 1, 3, 6, 10, 15,…… को त्रिभुजाकार संख्याएँ क्यों कहा जाता है?
(b) 1, 4, 9, 16, 25,…….. को वर्ग संख्याएँ या वर्ग क्यों कहा जाता है?
(c) 1, 8, 27, 64, 125,…….. को घन क्यों कहा जाता है?

उत्तर

(a)  त्रिभुजाकार संख्याएँ इसलिए कहलाती हैं क्योंकि इन बिन्दुओं की संख्या को व्यवस्थित करके त्रिभुज बनाया जा सकता है। 1, 3, 6, 10,... त्रिभुजाकार संख्याएँ हैं। 1, 3, 6, 10,... बिन्दुओं को व्यवस्थित करके त्रिभुज बनाया जा सकता है। (नीचे चित्र देखें)

(b)  वर्ग संख्याएँ इसलिए कहलाती हैं क्योंकि इन बिंदुओं की संख्या को एक वर्ग बनाने के लिए व्यवस्थित किया जा सकता है।
1, 4, 9, 16,… वर्ग संख्याएँ हैं।
1, 4, 9, 16,… बिंदुओं को एक वर्ग बनाने के लिए व्यवस्थित किया जा सकता है (नीचे चित्र देखें)

(c) घन इसलिए कहा जाता है क्योंकि इन कई इकाई घनों को घन बनाने के लिए व्यवस्थित किया जा सकता है।
1, 8, 27, 64,… घन संख्याएँ हैं।
1, 8, 27, 64,… इकाई घनों को घन बनाने के लिए व्यवस्थित किया जा सकता है। (नीचे चित्र देखें)

प्रश्न  3. आपने देखा होगा कि 36 एक त्रिभुजाकार और वर्गाकार संख्या है! यानी, 36 बिंदुओं को त्रिभुज और वर्ग दोनों में पूरी तरह से व्यवस्थित किया जा सकता है। अपनी नोटबुक में इसे दर्शाने वाले चित्र बनाएँ! इससे पता चलता है कि एक ही संख्या को संदर्भ के आधार पर अलग-अलग तरीकों से दर्शाया जा सकता है और वे अलग-अलग भूमिकाएँ निभा सकती हैं। कुछ अन्य संख्याओं को अलग-अलग तरीकों से चित्रात्मक रूप से दर्शाने का प्रयास करें!

उत्तर

ऐसी तीन अन्य संख्याएँ 1, 1225 और 41616 हैं।
1225 49वीं त्रिभुजाकार संख्या है।
इसके अलावा, 1225 को एक वर्ग द्वारा दर्शाया जा सकता है जिसकी एक भुजा पर 36 बिंदु हों।

प्रश्न  4. संख्याओं के निम्नलिखित अनुक्रम को आप क्या कहेंगे?

जी हाँ, इन्हें षट्कोणीय संख्याएँ कहते हैं! इन्हें अपनी नोटबुक में बनाइए। इस क्रम में अगली संख्या क्या है?

उत्तर

पहली संख्या = 1
दूसरी संख्या = 1 + 6 = 7 (दूसरी संख्या = पहली संख्या + 6 × 1)
तीसरी संख्या = 7 + 12 = 19 (तीसरी संख्या = दूसरी संख्या + 6 × 2)
चौथी संख्या = 19 + 18 = 37 (चौथी संख्या = तीसरी संख्या + 6 × 3)
पांचवीं संख्या = 37 + 24 = 61 (पांचवीं संख्या = चौथी संख्या + 6 × 4)
अतः अनुक्रम में अगली संख्या 61 है।

प्रश्न  5. क्या आप 2 की घातों और 3 की घातों के अनुक्रम को चित्रात्मक रूप से दर्शाने के बारे में सोच सकते हैं? 2 की घातों के बारे में सोचने का एक संभावित तरीका यहाँ दिया गया है:

उत्तर

3 की शक्तियों के लिए चित्रात्मक प्रतिनिधित्व:

पृष्ठ 6

उदाहरण: जब हम विषम संख्याओं को जोड़ना शुरू करते हैं तो क्या होता है?

1 = 1 = 1 का वर्ग
1 + 3 = 4 = 2 का वर्ग
1 + 3 + 5 = 9 = 3 का वर्ग
1 + 3 + 5 + 7 = 16 = 4 का वर्ग
1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 25 = 5 का वर्ग
1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 = 36 = 6 का वर्ग

ऐसा क्यों होता है? क्या आपको लगता है कि ऐसा हमेशा होता रहेगा?

उत्तर

ऐसा इसलिए होता है क्योंकि प्रत्येक विषम संख्या को (2n – 1) के रूप में दर्शाया जा सकता है, जहाँ (n) एक धनात्मक पूर्णांक है। जब हम पहली (n) विषम संख्याओं का योग करते हैं, तो हमें प्राप्त होता है: 1 + 3 + 5 + …. + (2n – 1) = n
यह क्रम सदैव चलता रहेगा क्योंकि यह संख्याओं का एक मूलभूत गुण है। विषम संख्याओं का क्रम और उनके योग से पूर्ण वर्ग संख्याएँ बनना संख्या प्रणाली की एक अंतर्निहित विशेषता है।

हम एक वर्ग ग्रिड में बिंदुओं को विषम संख्या में बिंदुओं में कैसे विभाजित कर सकते हैं: 1, 3, 5, 7,...?

उत्तर

हम एक वर्ग ग्रिड में बिंदुओं को विषम संख्या में बिंदुओं में विभाजित कर सकते हैं: 1, 3, 5, 7, इस प्रकार:

पृष्ठ 7

इसी प्रकार का चित्र बनाकर क्या आप बता सकते हैं कि प्रथम 10 विषम संख्याओं का योग क्या है?

उत्तर

प्रथम 10 विषम संख्याओं का योग = 1+3+5+7+9+11+13+15+17+19
= n ²
= (10) ²
= 10×10
= 100

अब, एक समान चित्र की कल्पना करके, या आवश्यकतानुसार उसका आंशिक चित्र बनाकर, क्या आप बता सकते हैं कि प्रथम 100 विषम संख्याओं का योग क्या है?

उत्तर

प्रथम 100 विषम संख्याओं का योग = 1 + 3 + 5 + ……
= n ²
= (100) ²
= 100 × 100
= 10,000

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पृष्ठ 8 और 9

प्रश्न  1. क्या आप इस बात का कोई चित्रात्मक स्पष्टीकरण पा सकते हैं कि गिनती की संख्याओं को ऊपर-नीचे जोड़ने पर, अर्थात् 1, 1 + 2 + 1, 1 + 2 + 3 + 2 + 1,…, वर्ग संख्याएँ क्यों प्राप्त होती हैं?

उत्तर 

1 = 1 = (1) ²
1 + 2 + 1 = 4 = (2) ²
1 + 2 + 3 + 2 + 1 = 9 = (3) ²
1 + 2 + 3 + 4 + 3 + 2 + 1 = 16 = (4) ²
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 25 = (5) ²
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 36 = (6) ²  और इसी तरह आगे भी।

प्रश्न  2. अपने चित्र का एक बड़ा संस्करण कल्पना करके, या आवश्यकतानुसार उसका आंशिक चित्र बनाकर, क्या आप देख सकते हैं कि 1 + 2 + 3+…+99 + 100 + 99+…+ 3 + 2 + 1 का मान क्या होगा?

उत्तर

1 + 2 + 3 + …… + 100 + ……. + 3 + 2 + 1 = 100 × 100 = 10000
इसलिए, यह 100 है ²  = 100 × 100 = 10,000

प्रश्न  3. जब आप सभी 1 के अनुक्रम को ऊपर और नीचे जोड़ना शुरू करते हैं तो आपको कौन सा अनुक्रम प्राप्त होता है?

उत्तर

जोड़ना: 1 + 1 + 1 + 1 = 4
घटाना: 1 + 1 + 1 + 1 = 4
दोनों तरीकों से योग समान है।

प्रश्न  4. जब आप संख्याओं को जोड़ना शुरू करते हैं तो आपको कौन सा क्रम मिलता है? क्या आप इसका एक छोटा सा चित्रमय विवरण दे सकते हैं?

उत्तर

संख्याओं को जोड़कर गिनना:
1, 1 + 2, 1 + 2 + 3, 1 + 2 + 3 + 4,
या 1, 3, 6, 10

प्रश्न  5. जब आप क्रमागत त्रिभुजाकार संख्याओं के युग्मों को जोड़ते हैं, तो क्या होता है? यानी 1 + 3, 3 + 6, 6 + 10, 10 + 15,... लीजिए? आपको कौन-सा क्रम मिलता है? क्यों? क्या आप इसे चित्र द्वारा समझा सकते हैं?

उत्तर

1 + 3 = 4 = 2 × 2;
3 + 6 = 9 = 3 × 3;
6 + 10 = 16 = 4 × 4
उपरोक्त जोड़े वर्ग संख्याएँ देते हैं।

प्रश्न  6. जब आप 1 से शुरू करके 2 की घातों को जोड़ना शुरू करते हैं, यानी 1, 1 + 2, 1 + 2 + 4, 1 + 2 + 4 + 8,... लेते हैं, तो क्या होता है? अब इनमें से प्रत्येक संख्या में 1 जोड़ें - आपको कौन सी संख्याएँ मिलती हैं? ऐसा क्यों होता है?

उत्तर

आइए 1 से शुरू करते हुए 2 की घातों को जोड़ें।
यहां, 1 = 1
1 + 2 = 3
1 + 2 + 4 = 7
1 + 2 + 4 + 8 = 15
1 + 2 + 4 + 8 + 16 = 31
अतः श्रृंखला 1, 3, 7, 15, 31,….. बनती है।
अब उपरोक्त प्रत्येक संख्या में 1 जोड़ते हैं
1 + 1 = 2 = 2 ¹
1 + 2 + 1 = 4 = 2 × 2 = 2 ²
1 + 2 + 4 + 1 = 8 = 2 × 2 × 2 = 2 ³
1 + 2 + 4 + 8 + 1 = 16 = 2 × 2 × 2 = 2 ⁴
ऐसा इसलिए होता है क्योंकि हम जोड़ रहे हैं (1 + 1 = 2), इसलिए 2 की घात बढ़ जाती है।

प्रश्न  7. जब आप त्रिभुजाकार संख्याओं को 6 से गुणा करके 1 जोड़ते हैं, तो क्या होता है? आपको कौन-सा क्रम प्राप्त होता है? क्या आप इसे चित्र द्वारा समझा सकते हैं?

उत्तर

त्रिकोणीय संख्याएँ हैं 1, 3, 6, 10, 15, 21,…
1 × 6 + 1 = 7
3 × 6 + 1 = 19 (12 की वृद्धि अर्थात 6 × 2)
6 × 6 + 1 = 37 (18 की वृद्धि अर्थात 6 × 3)
10 × 6 + 1 = 61 (24 की वृद्धि अर्थात 6 × 4)
15 × 6 + 1 = 91 (30 की वृद्धि अर्थात 6 × 5)

हमें अनुक्रम मिलता है: 7, 19, 37, 61, 91,…

प्रश्न  8. जब आप षट्कोणीय संख्याओं को जोड़ना शुरू करते हैं, यानी 1, 1 + 7, 1 + 7 + 19, 1 + 7 + 19 + 37,...? तो आपको कौन सा क्रम मिलता है? क्या आप इसे घन के चित्र की मदद से समझा सकते हैं?

उत्तर

षट्कोणीय संख्याएँ हैं: 1, 7, 19, 37,…
आइए उन्हें जोड़ें:
1 = 1 ³  (1 की तीसरी शक्ति)
1 + 7 = 8 = 2 × 2 × 2 = 2 ³  (2 की तीसरी शक्ति)
1 + 7 + 19 = 27 = 3 × 3 × 3 = 3 ³  (3 की तीसरी शक्ति)
1 + 7 + 19 + 37 = 64 = 4 × 4 × 4 = 4 ³  (4 की तीसरी शक्ति)
1 + 7 + 19 + 37 + 61 = 125 = 5 × 5 × 5 = 5 ³  (5 की तीसरी शक्ति)

प्रश्न  9. तालिका 1 में दिए गए अनुक्रमों में अपने पैटर्न या संबंध खोजें। क्या आप बता सकते हैं कि वे चित्र के साथ या अन्यथा क्यों घटित होते हैं?

उत्तर

3, 6, 9, 12, 15, 18,… (3 के लगातार गुणज)।
10, 15, 20, 25,… (पहली संख्या 10 है। फिर प्रत्येक पद में 5 की वृद्धि
)

पृष्ठ 10 और 11

तालिका 3: आकार अनुक्रमों के उदाहरण

प्रश्न  1. क्या आप तालिका 3 में दिए गए प्रत्येक अनुक्रम में पैटर्न पहचान सकते हैं?

उत्तर

(a)  सम बहुभुज: त्रिभुज, चतुर्भुज, पंचभुज, षट्भुज, (इनमें भुजाओं की संख्या एक बार में 1 से बढ़ती है)। अतः यह 3 से शुरू होने वाला एक सतत संख्या क्रम है।

(b) पूर्ण ग्राफ़

यहाँ रेखाओं की संख्या इस प्रकार है:
K ₂  = 1
K ₃  = 3
K ₄  = 6
K ₅  = 10
K ₆  = 15
बनने वाली श्रृंखला 1, 3, 6, 10, 15,… है।
अतः यह एक त्रिकोणीय संख्या अनुक्रम है।

(ग) स्टैक्ड वर्ग: प्रत्येक में छोटे वर्गों की संख्या:

गठित श्रृंखला 1, 4, 9, 16, 25,… है,
इसलिए यह वर्ग संख्या अनुक्रम की प्रस्तुति है।

(घ) स्टैक्ड त्रिभुज: प्रत्येक में छोटे त्रिभुजों की संख्या:

अतः यह भी त्रिभुजों द्वारा दर्शाया गया एक वर्ग संख्या अनुक्रम है।

(ई) कोच स्नोफ्लेक:  प्रत्येक में भुजाओं की संख्या 4 गुना हो जाती है।

प्रश्न  2. तालिका 3 में दिए गए प्रत्येक क्रम को अपनी नोटबुक में दोबारा बनाने का प्रयास करें। क्या आप प्रत्येक क्रम में अगली आकृति बना सकते हैं? क्यों या क्यों नहीं? प्रत्येक क्रम के बाद, अपने शब्दों में बताएँ कि क्रम में आकृतियाँ बनाने का नियम या पैटर्न क्या है।

उत्तर

(a)  नियमित बहुभुज: 11 भुजाओं वाला बहुभुज (समबाहु)

(बी)  के ₇

(c)  स्टैक्ड स्क्वायर

कुल वर्गों की संख्या = 6 × 6 = 36

(d)  स्टैक्ड त्रिकोण

त्रिभुजों की कुल संख्या = 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 = 36

(ई) कोच स्नोफ्लेक

समझ से बाहर

प्रश्न  1. सम बहुभुजों के क्रम में प्रत्येक आकृति में भुजाओं की संख्या गिनें। आपको कौन-सा संख्या क्रम प्राप्त होता है? सम बहुभुजों के क्रम में प्रत्येक आकृति में कोनों की संख्या क्या है? क्या आपको वही संख्या क्रम प्राप्त होता है? क्या आप समझा सकते हैं कि ऐसा क्यों होता है?

उत्तर

दोनों अनुक्रम s समान हैं क्योंकि एक नियमित बहुभुज में भुजाओं की संख्या कई शीर्षों के बराबर होती है।

प्रश्न  2. पूर्ण ग्राफ़ के अनुक्रम में प्रत्येक आकृति में रेखाओं की संख्या गिनें। आपको कौन-सा संख्या क्रम प्राप्त होता है? क्या आप समझा सकते हैं कि ऐसा क्यों है?

उत्तर

अतः हमें अनुक्रम प्राप्त होता है: 1, 3, 6, 10, 15,… यह एक त्रिकोणीय संख्या अनुक्रम है।

पृष्ठ 12

प्रश्न  3. स्टैक्ड स्क्वेयर्स के अनुक्रम में प्रत्येक आकृति में कितने छोटे वर्ग हैं? इससे कौन-सा संख्या क्रम प्राप्त होता है? क्या आप बता सकते हैं कि ऐसा क्यों है?

उत्तर

हमें अनुक्रम मिलता है: 1, 4, 9, 16, 25, 36,…
अतः हमें वर्ग संख्याओं का अनुक्रम मिलता है।

प्रश्न 4. स्टैक्ड त्रिभुजों के अनुक्रम की प्रत्येक आकृति में कितने छोटे त्रिभुज हैं? इससे कौन-सा संख्या क्रम प्राप्त होता है? क्या आप बता सकते हैं कि ऐसा क्यों है? (संकेत: अनुक्रम की प्रत्येक आकृति में, प्रत्येक पंक्ति में कितने त्रिभुज हैं?)

उत्तर

हमें अनुक्रम मिलता है: 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, यह वर्ग संख्याओं का अनुक्रम है। 
इसलिए, नीचे एक स्टैक्ड त्रिभुज जोड़ने पर, वर्ग अनुक्रम में अगली संख्या आ जाएगी।

प्रश्न  5. कोच स्नोफ्लेक अनुक्रम में एक आकृति से दूसरी आकृति तक पहुँचने के लिए, प्रत्येक रेखाखंड '—' को एक 'स्पीड बम्प' __ ⴷ__ से प्रतिस्थापित किया जाता है। जैसे-जैसे आप इसे बार-बार दोहराते हैं, परिवर्तन और भी सूक्ष्म होते जाते हैं और रेखाखंड बहुत ही छोटे होते जाते हैं। कोच स्नोफ्लेक की प्रत्येक आकृति में कुल कितने रेखाखंड हैं? संगत संख्या अनुक्रम क्या है? (उत्तर है 3, 12, 48,..., अर्थात 4 की घातों का 3 गुना; यह अनुक्रम तालिका 1 में नहीं दिखाया गया है।)

उत्तर

अनुक्रम 3, 12, 48, 192, 768, इत्यादि 3 से शुरू होते हैं। 

प्रत्येक आगामी पद, पिछले पद को 4 से गुणा करके प्राप्त किया जाता है। 
इसी प्रकार, अगले कोच स्नोफ्लेक पुनरावृत्ति में, पिछली आकृति की प्रत्येक पंक्ति के लिए चार नई पंक्तियाँ जोड़ी जाती हैं।